次の不等式が成り立つかどうかを判定します。 $\frac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \geq \frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ ここで、$x$ と $y$ は実数であり、根号の中身が非負であること、および分母がゼロでないことが前提となります。すなわち、$x \geq y \geq 0$, $x>0$, $y\geq 0$ そして $x \neq y$ です。

1. 問題の内容

次の不等式が成り立つかどうかを判定します。

$\frac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \geq \frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

ここで、$x$ と $y$ は実数であり、根号の中身が非負であること、および分母がゼロでないことが前提となります。すなわち、$x \geq y \geq 0$, $x>0$, $y\geq 0$ そして $x \neq y$ です。

2. 解き方の手順

まず、両辺に $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ をかけます。$(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ は常に正なので不等号の向きは変わりません。しかし、$(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ が正である($x>y$)必要があります。

$\sqrt{x-y}(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \geq \sqrt{x+y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

両辺を2乗します。

$(x-y)(x - 2\sqrt{xy} + y) \geq (x+y)(x + 2\sqrt{xy} + y)$

$x^2 - 2x\sqrt{xy} + xy - xy + 2y\sqrt{xy} - y^2 \geq x^2 + 2x\sqrt{xy} + xy + xy + 2y\sqrt{xy} + y^2$

$x^2 - 2x\sqrt{xy} - y^2 \geq x^2 + 2x\sqrt{xy} + 2xy + y^2$

$- 2x\sqrt{xy} - y^2 \geq 2x\sqrt{xy} + 2xy + y^2$

$0 \geq 4x\sqrt{xy} + 2xy + 2y^2$

$0 \geq 2y(2x\sqrt{x/y} + x + y)$

$y > 0$ であるため、

$0 \geq 2x\sqrt{x/y} + x + y$

しかし、この式は明らかに成り立ちません。なぜならば、$x>0$、$y>0$であるため、$2x\sqrt{x/y}+x+y >0$だからです。不等号の向きが逆になります。

したがって、元の不等式は成り立ちません。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \geq \frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ は成り立たない。