不等式 $|x-3| + |x+1| < -3x + 2$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $|x-3| + |x+1| < -3x + 2$ を解け。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして考える。

場合1: $x < -1$ のとき

$x-3 < 0$ かつ $x+1 < 0$ より、

$|x-3| = -(x-3) = -x+3$

$|x+1| = -(x+1) = -x-1$

したがって、不等式は

$-x+3 -x-1 < -3x+2$

$-2x+2 < -3x+2$

$x < 0$

$x < -1$ と $x < 0$ の共通範囲は $x < -1$

場合2: $-1 \le x < 3$ のとき

$x-3 < 0$ かつ $x+1 \ge 0$ より、

$|x-3| = -(x-3) = -x+3$

$|x+1| = x+1$

したがって、不等式は

$-x+3 + x+1 < -3x+2$

$4 < -3x+2$

$3x < -2$

$x < -\frac{2}{3}$

$-1 \le x < 3$ と $x < -\frac{2}{3}$ の共通範囲は $-1 \le x < -\frac{2}{3}$

場合3: $x \ge 3$ のとき

$x-3 \ge 0$ かつ $x+1 > 0$ より、

$|x-3| = x-3$

$|x+1| = x+1$

したがって、不等式は

$x-3 + x+1 < -3x+2$

$2x-2 < -3x+2$

$5x < 4$

$x < \frac{4}{5}$

$x \ge 3$ と $x < \frac{4}{5}$ の共通範囲は存在しない。

以上より、解は

$x < -1$ または $-1 \le x < -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$x < -\frac{2}{3}$