$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 4k)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 4k)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を使って、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 4k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 4k$

次に、定数倍のシグマの性質を使って、定数をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 4k = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 4\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^3$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ について、以下の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

これらの公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 - 4\sum_{k=1}^{n} k = (\frac{n(n+1)}{2})^2 - 4\frac{n(n+1)}{2}$

整理します。

$(\frac{n(n+1)}{2})^2 - 4\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 2n(n+1)$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{4}$ でくくります。

$\frac{n^2(n+1)^2}{4} - 2n(n+1) = \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) - 8]$

さらに整理します。

$\frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) - 8] = \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n - 8]$

したがって、

$\frac{n(n+1)(n^2 + n - 8)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n^2 + n - 8)}{4}$