与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ を計算することです。つまり、$k$が1から$n$まで変化するときの、$k^2 + k$の総和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ を計算することです。つまり、$k$が1から$n$まで変化するときの、$k^2 + k$の総和を求める問題です。

2. 解き方の手順

総和の性質を利用して、各項を別々に計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

共通因数 $n(n+1)$ でくくります。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = n(n+1) \left(\frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2}\right)$

括弧の中を計算します。

$\frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2n+1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2n+4}{6} = \frac{n+2}{3}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = n(n+1) \frac{n+2}{3} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$