与えられた和を計算します。和は $ \sum_{k=1}^{n-1} (4 \cdot 3^k - k - 2) $ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた和を計算します。和は $\sum_{k=1}^{n-1} (4 \cdot 3^k - k - 2)$ で表されます。

2. 解き方の手順

和を3つの部分に分割します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (4 \cdot 3^k - k - 2) = \sum_{k=1}^{n-1} 4 \cdot 3^k - \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 2$

それぞれの和を計算します。

最初の和は等比数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n-1} 4 \cdot 3^k = 4 \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = 4 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = 4 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} = 6(3^{n-1} - 1) = 6 \cdot 3^{n-1} - 6 = 2 \cdot 3^n - 6$

2番目の和は自然数の和です。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 - n}{2}$

3番目の和は定数の和です。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2 = 2(n-1) = 2n - 2$

これらをまとめます。

$\sum_{k=1}^{n-1} (4 \cdot 3^k - k - 2) = (2 \cdot 3^n - 6) - (\frac{n^2 - n}{2}) - (2n - 2) = 2 \cdot 3^n - 6 - \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} - 2n + 2 = 2 \cdot 3^n - \frac{n^2}{2} - \frac{3n}{2} - 4$

3. 最終的な答え

$2 \cdot 3^n - \frac{n^2}{2} - \frac{3n}{2} - 4$