与えられた不等式 $|2x+3| \le \frac{x+9}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2x+3| \le \frac{x+9}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、絶対値の中身の符号によって場合分けをします。

(i) $2x+3 \ge 0$ のとき、つまり $x \ge -\frac{3}{2}$ のとき、

$|2x+3| = 2x+3$ となるので、不等式は

$2x+3 \le \frac{x+9}{2}$

となります。両辺に2をかけると

$4x+6 \le x+9$

$3x \le 3$

$x \le 1$

このとき、 $x \ge -\frac{3}{2}$ かつ $x \le 1$ なので、 $-\frac{3}{2} \le x \le 1$ となります。

(ii) $2x+3 < 0$ のとき、つまり $x < -\frac{3}{2}$ のとき、

$|2x+3| = -(2x+3) = -2x-3$ となるので、不等式は

$-2x-3 \le \frac{x+9}{2}$

となります。両辺に2をかけると

$-4x-6 \le x+9$

$-5x \le 15$

$x \ge -3$

このとき、$x < -\frac{3}{2}$ かつ $x \ge -3$ なので、 $-3 \le x < -\frac{3}{2}$ となります。

(i), (ii) より、 $-3 \le x \le 1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$-3 \le x \le 1$