(1) 多項式 $2x^3 + ax^2 + bx + 3$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの余りが $3x + 2$ となるように、定数 $a, b$ の値を定め、そのときの商を求める。 (2) 多項式 $x^3 + ax^2 + 4x + b$ が $x^2 + x + 2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を定め、そのときの商を求める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $2x^3 + ax^2 + bx + 3$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの余りが $3x + 2$ となるように、定数 $a, b$ の値を定め、そのときの商を求める。

(2) 多項式 $x^3 + ax^2 + 4x + b$ が $x^2 + x + 2$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を定め、そのときの商を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$2x^3 + ax^2 + bx + 3$ を $x^2 + 2x - 1$ で割ったときの商を $cx + d$ とすると、

$2x^3 + ax^2 + bx + 3 = (x^2 + 2x - 1)(cx + d) + 3x + 2$

となる。右辺を展開すると、

$2x^3 + ax^2 + bx + 3 = cx^3 + dx^2 + 2cx^2 + 2dx - cx - d + 3x + 2$

$2x^3 + ax^2 + bx + 3 = cx^3 + (d + 2c)x^2 + (2d - c + 3)x + (2 - d)$

両辺の係数を比較すると、

$c = 2$

$a = d + 2c$

$b = 2d - c + 3$

$3 = 2 - d$

最後の式から $d = -1$ である。これを $a, b$ の式に代入すると、

$a = -1 + 2(2) = 3$

$b = 2(-1) - 2 + 3 = -1$

したがって、$a = 3, b = -1$ である。

このとき、商は $cx + d = 2x - 1$ となる。

(2)

$x^3 + ax^2 + 4x + b$ を $x^2 + x + 2$ で割ったときの商を $x + c$ とすると、

$x^3 + ax^2 + 4x + b = (x^2 + x + 2)(x + c)$

右辺を展開すると、

$x^3 + ax^2 + 4x + b = x^3 + cx^2 + x^2 + cx + 2x + 2c$

$x^3 + ax^2 + 4x + b = x^3 + (c + 1)x^2 + (c + 2)x + 2c$

両辺の係数を比較すると、

$a = c + 1$

$4 = c + 2$

$b = 2c$

$4 = c + 2$ より $c = 2$ である。これを $a, b$ の式に代入すると、

$a = 2 + 1 = 3$

$b = 2(2) = 4$

したがって、$a = 3, b = 4$ である。

このとき、商は $x + c = x + 2$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3, b = -1$, 商: $2x - 1$

(2) $a = 3, b = 4$, 商: $x + 2$