不等式 $2x+3 \geq \frac{4}{3}(x+1)+a$ の解が $x \geq \frac{a-イ}{ウ}$ の形になる。さらに、この不等式の解が $x=3$ を含み、$x=-1$ を含まないとき、$エ < a \leq \frac{オカ}{キ}$ となる。この不等式を満たす整数 $a$ の個数を求める。

1. 問題の内容

不等式 $2x+3 \geq \frac{4}{3}(x+1)+a$ の解が $x \geq \frac{a-イ}{ウ}$ の形になる。さらに、この不等式の解が $x=3$ を含み、$x=-1$ を含まないとき、$エ < a \leq \frac{オカ}{キ}$ となる。この不等式を満たす整数 $a$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $2x+3 \geq \frac{4}{3}(x+1)+a$ を解く。

両辺に3を掛けると

$6x+9 \geq 4(x+1)+3a$

$6x+9 \geq 4x+4+3a$

$2x \geq 3a-5$

$x \geq \frac{3a-5}{2}$

したがって、$ア=3, イ=5, ウ=2$。

次に、$x \geq \frac{3a-5}{2}$ が $x=3$ を含む条件は

$3 \geq \frac{3a-5}{2}$

$6 \geq 3a-5$

$11 \geq 3a$

$a \leq \frac{11}{3}$

$x \geq \frac{3a-5}{2}$ が $x=-1$ を含まない条件は

$-1 < \frac{3a-5}{2}$

$-2 < 3a-5$

$3 < 3a$

$1 < a$

したがって、$1 < a \leq \frac{11}{3}$。つまり、$エ=1, オカ=11, キ=3$。

$\frac{11}{3} = 3.666...$ であるから、$1 < a \leq \frac{11}{3}$ を満たす整数 $a$ は、$a=2, 3$ の2個。したがって、$ク=2$。

3. 最終的な答え

ア = 3

イ = 5

ウ = 2

エ = 1

オカ = 11

キ = 3

ク = 2