与えられた10個の式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $9a^2 - 49b^2$

これは二乗の差の形なので、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を利用します。

$9a^2 = (3a)^2$、 $49b^2 = (7b)^2$ なので、

$9a^2 - 49b^2 = (3a + 7b)(3a - 7b)$

(2) $x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 7y - 15$

$x$ について整理すると、

$x^2 + (3y + 2)x + (2y^2 + 7y - 15)$

$2y^2 + 7y - 15 = (2y - 3)(y + 5)$

よって、

$x^2 + (3y + 2)x + (2y - 3)(y + 5) = (x + (2y - 3))(x + (y + 5))$

$= (x + 2y - 3)(x + y + 5)$

(3) $3a^2 + 19ab - 14b^2$

たすき掛けを利用します。

$3a^2 + 19ab - 14b^2 = (3a - 2b)(a + 7b)$

(4) $x^4 - 3x^2 + 2$

$x^2 = X$ と置くと、$X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$

よって、$(x^2 - 1)(x^2 - 2) = (x + 1)(x - 1)(x^2 - 2)$

(5) $x^2 - 15x + 36$

$(x - 3)(x - 12)$

(6) $(x + 2y)^2 + 3(x + 2y) - 18$

$x + 2y = X$ と置くと、$X^2 + 3X - 18 = (X + 6)(X - 3)$

よって、$(x + 2y + 6)(x + 2y - 3)$

(7) $x^2 + 7x - 30$

$(x + 10)(x - 3)$

(8) $x^2 + 10x + 16$

$(x + 2)(x + 8)$

(9) $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$

$x^2 + 2(y - 4)x - 14y + 7 = 0$ と見なすと、解の公式より、

$x = -(y - 4) \pm \sqrt{(y - 4)^2 - (-14y + 7)} = -(y - 4) \pm \sqrt{y^2 - 8y + 16 + 14y - 7} = -(y - 4) \pm \sqrt{y^2 + 6y + 9} = -(y - 4) \pm (y + 3)$

$x = -y + 4 + y + 3 = 7$ または $x = -y + 4 - y - 3 = -2y + 1$

よって、$(x - 7)(x + 2y - 1)$

(10) $36a^2 - 60a + 25$

$(6a - 5)^2$

3. 最終的な答え

(1) $(3a + 7b)(3a - 7b)$

(2) $(x + 2y - 3)(x + y + 5)$

(3) $(3a - 2b)(a + 7b)$

(4) $(x + 1)(x - 1)(x^2 - 2)$

(5) $(x - 3)(x - 12)$

(6) $(x + 2y + 6)(x + 2y - 3)$

(7) $(x + 10)(x - 3)$

(8) $(x + 2)(x + 8)$

(9) $(x - 7)(x + 2y - 1)$

(10) $(6a - 5)^2$