与えられた式 $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$ の部分を工夫して計算します。

$(x+1)(x+7)$ と $(x+3)(x+5)$ をそれぞれ計算すると、$x$ の2次式が現れます。

$(x+1)(x+7) = x^2 + 8x + 7$

$(x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15$

ここで、$x^2 + 8x = A$ と置換します。すると、与えられた式は次のようになります。

$(A+7)(A+15) + 15$

これを展開します。

$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

この2次式を因数分解します。

$A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

ここで、$A = x^2 + 8x$ を代入します。

$(x^2 + 8x + 10)(x^2 + 8x + 12)$

さらに、$x^2 + 8x + 12$ を因数分解します。

$x^2 + 8x + 12 = (x+2)(x+6)$

よって、

$(x^2 + 8x + 10)(x+2)(x+6)$

これで因数分解は完了です。

3. 最終的な答え

$(x+2)(x+6)(x^2+8x+10)$