与えられた多項式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + xy + x + 3y - 6$ (3) $x^2 - 8a + 2ax - 16$ (5) $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ (6) $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、(1),(3),(5),(6) を解きます。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + xy + x + 3y - 6$

(3) $x^2 - 8a + 2ax - 16$

(5) $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$

(6) $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + xy + x + 3y - 6$ を因数分解します。

$x$ の項と $y$ の項をそれぞれまとめると、

$x(x + y + 1) + 3y - 6$

$x + y + 1 = A$ とおくと、

$xA + 3y - 6$

しかし、この方法はうまくいきません。

別の方法を試します。

$x^2 + xy + x + 3y - 6 = (x+3)(x+y-2)$

$x^2 + xy -2x + 3x + 3y - 6 = x^2 + xy +x + 3y - 6$

(3)

$x^2 - 8a + 2ax - 16$ を因数分解します。

$x^2 + 2ax - 8a - 16$

$x^2 + 2ax + a^2 - a^2 - 8a - 16$ と変形すると、

$(x+a)^2 - (a^2 + 8a + 16) = (x+a)^2 - (a+4)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、

$(x+a+a+4)(x+a-a-4) = (x+2a+4)(x-4)$

(5)

$a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ を因数分解します。

$a^2 -2ab + b^2 - ca + bc = (a-b)^2 - c(a-b) = (a-b)(a-b-c)$

(6)

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$ を因数分解します。

$4x^2(y-z) - y^2(y-z) = - z (4x^2-y^2) + y (4x^2 - y^2)$

$4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3 = 4x^2(y-z) + z (y^2-y^2)$

$-4x^2(z-y) + z (y^2-y^2)$

$- (4x^2(z-y) - z (y^2-y^2))$

$z (y^2-y^2) - 4x^2(z-y)$

$-z(y-z)(y+z)- y^2(y-z)$

ここで、与式を並び替えると

$-y^3 + 4x^2 y + y^2 z - 4x^2 z = - y (y^2-4x^2) + z(y^2 - 4x^2) = -y (y-2x)(y+2x) + z (y-2x)(y+2x) = (z-y)(y-2x)(y+2x) = -(y-z)(y-2x)(y+2x)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+3)(x+y-2)$

(3) $(x+2a+4)(x-4)$

(5) $(a-b)(a-b-c)$

(6) $-(y-z)(y-2x)(y+2x)$

または、 $(y-z)(2x-y)(2x+y)$