初項が55、公差が-6の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

初項が55、公差が-6の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + (n-1)d$

ここで、$a_1 = 55$、$d = -6$ なので、

$a_n = 55 + (n-1)(-6) = 55 - 6n + 6 = 61 - 6n$

$S_n$ は、等差数列の和の公式より、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

$S_n = \frac{n}{2}(55 + 61 - 6n) = \frac{n}{2}(116 - 6n) = n(58 - 3n) = 58n - 3n^2$

$S_n$ を最大にする $n$ を求めるために、$S_n$ を平方完成します。

$S_n = -3(n^2 - \frac{58}{3}n) = -3(n^2 - \frac{58}{3}n + (\frac{29}{3})^2) + 3(\frac{29}{3})^2$

$S_n = -3(n - \frac{29}{3})^2 + \frac{29^2}{3} = -3(n - \frac{29}{3})^2 + \frac{841}{3}$

$n$ は整数なので、$(n - \frac{29}{3})^2$ が最小となるような $n$ を考えます。

$\frac{29}{3} = 9.666...$ なので、$n = 9$ または $n = 10$ のとき、$S_n$ が最大となる可能性があります。

$n=9$ のとき、

$S_9 = 58(9) - 3(9^2) = 522 - 243 = 279$

$n=10$ のとき、

$S_{10} = 58(10) - 3(10^2) = 580 - 300 = 280$

したがって、$S_n$ が最大となるのは $n=10$ のときで、その値は $280$ です。

あるいは、

$a_n = 61 - 6n > 0$ となる最大の $n$ を求める。

$61 > 6n$

$n < \frac{61}{6} = 10.166...$

したがって、$a_{10} > 0$ で $a_{11} < 0$ となる。

よって、$S_n$ が最大となるのは $n=10$ のときである。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2(55) + (10-1)(-6)) = 5(110 - 54) = 5(56) = 280$

3. 最終的な答え

$S_n$ の最大値は 280 である。