ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と平行で、大きさが2であるベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と平行で、大きさが2であるベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ の単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ は、

$$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

である。

したがって、単位ベクトル $\vec{e}$ は、

$$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(1, -2)}{\sqrt{5}} = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}})$$

となる。

次に、大きさが2であるベクトル $\vec{b}$ は、単位ベクトル $\vec{e}$ を2倍したものとなる。

$$\vec{b} = 2\vec{e} = 2(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}) = (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-4}{\sqrt{5}})$$

また、$-\vec{e}$ も $\vec{a}$ と平行な単位ベクトルであり、 $-2\vec{e}$ も大きさが2である $\vec{a}$ と平行なベクトルである。

$$-2\vec{e} = -2(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}) = (-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}})$$

よって、求めるベクトルは $(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-4}{\sqrt{5}})$ と $(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}})$ である。

3. 最終的な答え

$(\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{4}{\sqrt{5}})$ または $(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}})$

（または $(\frac{2\sqrt{5}}{5}, -\frac{4\sqrt{5}}{5})$ または $(-\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{4\sqrt{5}}{5})$）