(1) 不等式 $6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$ を解く。 (2) 方程式 $|x-1| + 2|2-x| = 4$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$ を解く。

(2) 方程式 $|x-1| + 2|2-x| = 4$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

$|x+3|$ と $|x-1|$ の絶対値を外すために、場合分けを行う。

場合1: $x < -3$

このとき、$x+3 < 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、$|x+3| = -(x+3)$ かつ $|x-1| = -(x-1)$。

与えられた不等式は

$6 \le -(x+3) - (x-1) \le 10$

$6 \le -2x - 2 \le 10$

$8 \le -2x \le 12$

$-6 \le x \le -4$

これは $x < -3$ を満たすので、$-6 \le x \le -4$ が解となる。

場合2: $-3 \le x < 1$

このとき、$x+3 \ge 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、$|x+3| = x+3$ かつ $|x-1| = -(x-1)$。

与えられた不等式は

$6 \le (x+3) - (x-1) \le 10$

$6 \le 4 \le 10$

これは常に成立しないので、解なし。

場合3: $x \ge 1$

このとき、$x+3 > 0$ かつ $x-1 \ge 0$ なので、$|x+3| = x+3$ かつ $|x-1| = x-1$。

与えられた不等式は

$6 \le (x+3) + (x-1) \le 10$

$6 \le 2x + 2 \le 10$

$4 \le 2x \le 8$

$2 \le x \le 4$

これは $x \ge 1$ を満たすので、$2 \le x \le 4$ が解となる。

したがって、不等式の解は $-6 \le x \le -4$ または $2 \le x \le 4$。

(2)

$|x-1|$ と $|2-x|$ の絶対値を外すために、場合分けを行う。

場合1: $x < 1$

このとき、$x-1 < 0$ かつ $2-x > 0$ なので、$|x-1| = -(x-1)$ かつ $|2-x| = 2-x$。

与えられた方程式は

$-(x-1) + 2(2-x) = 4$

$-x+1 + 4 - 2x = 4$

$-3x + 5 = 4$

$-3x = -1$

$x = \frac{1}{3}$

これは $x < 1$ を満たすので、$x = \frac{1}{3}$ が解となる。

場合2: $1 \le x < 2$

このとき、$x-1 \ge 0$ かつ $2-x > 0$ なので、$|x-1| = x-1$ かつ $|2-x| = 2-x$。

与えられた方程式は

$(x-1) + 2(2-x) = 4$

$x-1 + 4 - 2x = 4$

$-x + 3 = 4$

$-x = 1$

$x = -1$

これは $1 \le x < 2$ を満たさないので、解なし。

場合3: $x \ge 2$

このとき、$x-1 > 0$ かつ $2-x \le 0$ なので、$|x-1| = x-1$ かつ $|2-x| = -(2-x) = x-2$。

与えられた方程式は

$(x-1) + 2(x-2) = 4$

$x-1 + 2x - 4 = 4$

$3x - 5 = 4$

$3x = 9$

$x = 3$

これは $x \ge 2$ を満たすので、$x = 3$ が解となる。

したがって、方程式の解は $x = \frac{1}{3}$ または $x = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $-6 \le x \le -4$ または $2 \le x \le 4$

(2) $x = \frac{1}{3}, 3$