ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と平行で、大きさが2であるベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ と平行で、大きさが2であるベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられたベクトル $\vec{a} = (1, -2)$ の単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。単位ベクトルは、ベクトルをそのベクトルの大きさで割ることで得られる。ベクトルの大きさは、各成分の二乗の和の平方根で計算される。

$\vec{a}$ の大きさ $|\vec{a}|$ は、

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|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

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したがって、$\vec{a}$ の単位ベクトル $\vec{e}$ は、

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\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(1, -2)}{\sqrt{5}} = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}\right)

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求めるベクトルは、$\vec{a}$ と平行で大きさが2であるため、単位ベクトル $\vec{e}$ を2倍すればよい。ただし、平行なベクトルは向きが正反対の場合もあるので、符号を考慮する必要がある。

求めるベクトルを $\vec{v}$ とすると、

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\vec{v} = \pm 2\vec{e} = \pm 2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}\right) = \pm \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{-4}{\sqrt{5}}\right)

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分母を有理化すると、

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\vec{v} = \pm \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{-4\sqrt{5}}{5}\right)

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3. 最終的な答え

求めるベクトルは、$\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{-4\sqrt{5}}{5}\right)$ と $\left(\frac{-2\sqrt{5}}{5}, \frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$ である。