## 6. 問題の内容

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6. 問題の内容

多項式 $x^4 + 1$ を多項式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で、余りが $17$ であった。$P(x)$ を求めよ。

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7. 問題の内容

多項式 $Q(x)$ を $x + 1$ で割ると余りが $-3$ であり、$x - 2$ で割ると余りが $3$ であった。$Q(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

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6. 解き方の手順

多項式の割り算の関係式は、

$$(割られる式) = (割る式) \times (商) + (余り)$$

で表されます。今回の問題では、割られる式が $x^4 + 1$、割る式が $P(x)$、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$、余りが $17$ です。したがって、

$$x^4 + 1 = P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + 17$$

$P(x)$ について解くために式を整理します。

$$P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = x^4 + 1 - 17$$

$$P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) = x^4 - 16$$

$$P(x) = \frac{x^4 - 16}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}$$

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$$

$$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x^2 + 4)(x - 2)$$

したがって、

$$P(x) = \frac{(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)}{(x^2 + 4)(x - 2)} = x + 2$$

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6. 最終的な答え

$P(x) = x + 2$

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7. 解き方の手順

$Q(x)$ を $x + 1$ で割った余りが $-3$ であることから、剰余の定理より $Q(-1) = -3$ が成り立ちます。同様に、$Q(x)$ を $x - 2$ で割った余りが $3$ であることから、$Q(2) = 3$ が成り立ちます。

$Q(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りを $ax + b$ とおくと、

$$Q(x) = (x^2 - x - 2) \times (\text{商}) + ax + b$$

ここで、$x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$ なので、

$$Q(x) = (x + 1)(x - 2) \times (\text{商}) + ax + b$$

$x = -1$ を代入すると、

$$Q(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2) \times (\text{商}) + a(-1) + b = -a + b = -3$$

$x = 2$ を代入すると、

$$Q(2) = (2 + 1)(2 - 2) \times (\text{商}) + a(2) + b = 2a + b = 3$$

$-a + b = -3$ と $2a + b = 3$ を連立方程式として解きます。

$2a + b - (-a + b) = 3 - (-3)$ より、 $3a = 6$ なので、$a = 2$。

$-a + b = -3$ に $a = 2$ を代入すると、$-2 + b = -3$ より、$b = -1$。

したがって、求める余りは $2x - 1$ です。

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7. 最終的な答え

$2x - 1$