与えられた不等式 $6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$ を解く問題です。絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$ を解く問題です。絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解きます。

2. 解き方の手順

絶対値の中身が0になる点である $x = -3$ と $x = 1$ を境界として、以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < -3$ のとき

$|x+3| = -(x+3)$、 $|x-1| = -(x-1)$ なので、

$|x+3| + |x-1| = -(x+3) - (x-1) = -2x - 2$

不等式は $6 \le -2x - 2 \le 10$ となります。

$6 \le -2x - 2$ より、 $8 \le -2x$ なので $x \le -4$

$-2x - 2 \le 10$ より、 $-2x \le 12$ なので $x \ge -6$

よって、$-6 \le x \le -4$

この範囲は $x < -3$ を満たしているので、解は $-6 \le x \le -4$

(ii) $-3 \le x < 1$ のとき

$|x+3| = x+3$、 $|x-1| = -(x-1)$ なので、

$|x+3| + |x-1| = (x+3) - (x-1) = 4$

不等式は $6 \le 4 \le 10$ となります。

これは明らかに成り立ちません。したがって、解なし。

(iii) $x \ge 1$ のとき

$|x+3| = x+3$、 $|x-1| = x-1$ なので、

$|x+3| + |x-1| = (x+3) + (x-1) = 2x + 2$

不等式は $6 \le 2x + 2 \le 10$ となります。

$6 \le 2x + 2$ より、 $4 \le 2x$ なので $x \ge 2$

$2x + 2 \le 10$ より、 $2x \le 8$ なので $x \le 4$

よって、$2 \le x \le 4$

この範囲は $x \ge 1$ を満たしているので、解は $2 \le x \le 4$

(i), (ii), (iii) より、不等式の解は $-6 \le x \le -4$ または $2 \le x \le 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-6 \le x \le -4$ または $2 \le x \le 4$