問題64は、$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、以下の値を求める問題です。 (1) $a+b+b^2$ (2) $a^2+2ab+b^2$

1. 問題の内容

問題64は、$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、以下の値を求める問題です。

(1) $a+b+b^2$

(2) $a^2+2ab+b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$の分母を有理化します。

$\frac{1}{3-\sqrt{7}} = \frac{1}{3-\sqrt{7}} \cdot \frac{3+\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{9-7} = \frac{3+\sqrt{7}}{2}$

次に、$\sqrt{7}$の値を近似的に求めます。$2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$なので、$2 < \sqrt{7} < 3$です。

さらに、$2.6^2 = 6.76 < 7 < 7.29 = 2.7^2$なので、$2.6 < \sqrt{7} < 2.7$です。

したがって、$3 + 2.6 < 3 + \sqrt{7} < 3 + 2.7$より、$5.6 < 3 + \sqrt{7} < 5.7$です。

$\frac{5.6}{2} < \frac{3+\sqrt{7}}{2} < \frac{5.7}{2}$より、$2.8 < \frac{3+\sqrt{7}}{2} < 2.85$です。

よって、$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$の整数部分$a$は2、$b$は$\frac{3+\sqrt{7}}{2} - 2 = \frac{\sqrt{7}-1}{2}$となります。

(1) $a+b+b^2$の値を求めます。

$a+b+b^2 = 2 + \frac{\sqrt{7}-1}{2} + (\frac{\sqrt{7}-1}{2})^2 = 2 + \frac{\sqrt{7}-1}{2} + \frac{7 - 2\sqrt{7} + 1}{4} = 2 + \frac{\sqrt{7}-1}{2} + \frac{8 - 2\sqrt{7}}{4} = 2 + \frac{\sqrt{7}-1}{2} + 2 - \frac{\sqrt{7}}{2} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

(2) $a^2+2ab+b^2$の値を求めます。

$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 = (2 + \frac{\sqrt{7}-1}{2})^2 = (\frac{4+\sqrt{7}-1}{2})^2 = (\frac{3+\sqrt{7}}{2})^2 = \frac{9 + 6\sqrt{7} + 7}{4} = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{4} = 4 + \frac{3\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{2}$

(2) $4 + \frac{3\sqrt{7}}{2}$