与えられた漸化式を指定された形に変形し、空欄に当てはまる数を求める問題です。 (1) $a_{n+1} = 4a_n - 6$ を $a_{n+1} - \alpha = 4(a_n - \alpha)$ の形に変形する。 (2) $a_{n+1} = 2a_n + 1$ を $a_{n+1} + \alpha = 2(a_n + \alpha)$ の形に変形する。 (3) $a_{n+1} = -2a_n + 3$ を $a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha)$ の形に変形する。

1. 問題の内容

与えられた漸化式を指定された形に変形し、空欄に当てはまる数を求める問題です。

(1) $a_{n+1} = 4a_n - 6$ を $a_{n+1} - \alpha = 4(a_n - \alpha)$ の形に変形する。

(2) $a_{n+1} = 2a_n + 1$ を $a_{n+1} + \alpha = 2(a_n + \alpha)$ の形に変形する。

(3) $a_{n+1} = -2a_n + 3$ を $a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha)$ の形に変形する。

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = 4a_n - 6$ を $a_{n+1} - \alpha = 4(a_n - \alpha)$ の形に変形します。

$a_{n+1} - \alpha = 4a_n - 4\alpha$

$a_{n+1} = 4a_n - 4\alpha + \alpha$

$a_{n+1} = 4a_n - 3\alpha$

したがって、$- 6 = - 3\alpha$

$\alpha = 2$

よって、$a_{n+1} - 2 = 4(a_n - 2)$

(2)

$a_{n+1} = 2a_n + 1$ を $a_{n+1} + \alpha = 2(a_n + \alpha)$ の形に変形します。

$a_{n+1} + \alpha = 2a_n + 2\alpha$

$a_{n+1} = 2a_n + 2\alpha - \alpha$

$a_{n+1} = 2a_n + \alpha$

したがって、$1 = \alpha$

よって、$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$

(3)

$a_{n+1} = -2a_n + 3$ を $a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha)$ の形に変形します。

$a_{n+1} - \alpha = -2a_n + 2\alpha$

$a_{n+1} = -2a_n + 2\alpha + \alpha$

$a_{n+1} = -2a_n + 3\alpha$

したがって、$3 = 3\alpha$

$\alpha = 1$

よって、$a_{n+1} - 1 = -2(a_n - 1)$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) 1