ある等差数列において、初項から第5項までの和が-5、第6項から第10項までの和が145であるとき、第11項から第15項までの和を求める。

1. 問題の内容

ある等差数列において、初項から第5項までの和が-5、第6項から第10項までの和が145であるとき、第11項から第15項までの和を求める。

2. 解き方の手順

等差数列の初項を$a$、公差を$d$とする。

初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$で表される。

初項から第5項までの和が-5なので、

$S_5 = \frac{5}{2}(2a + 4d) = -5$

$2a + 4d = -2$

$a + 2d = -1$ ...(1)

第6項から第10項までの和は、初項から第10項までの和から初項から第5項までの和を引いたものなので、

$S_{10} - S_5 = 145$

$S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 5(2a+9d)$

$S_{10} = S_5 + 145 = -5 + 145 = 140$

$5(2a + 9d) = 140$

$2a + 9d = 28$ ...(2)

(2) - 2 * (1)より、

$2a + 9d - 2(a+2d) = 28 - 2(-1)$

$2a + 9d - 2a - 4d = 28 + 2$

$5d = 30$

$d = 6$

(1)に代入すると、

$a + 2(6) = -1$

$a + 12 = -1$

$a = -13$

第11項から第15項までの和を求める。これは、初項から第15項までの和から、初項から第10項までの和を引いたものである。

$S_{15} = \frac{15}{2}(2a + 14d) = \frac{15}{2}(2(-13) + 14(6)) = \frac{15}{2}(-26 + 84) = \frac{15}{2}(58) = 15 * 29 = 435$

第11項から第15項までの和は、$S_{15} - S_{10}$

$S_{15} - S_{10} = 435 - 140 = 295$

または、等差数列の性質から、第$n$項から第$n+4$項までの和は、$5(a + (n-1+2)d) = 5(a+(n+1)d)$となる。

第1項から第5項までの和は$5(a+2d) = -5$

第6項から第10項までの和は$5(a+7d) = 145$

第11項から第15項までの和は$5(a+12d)$

$a+2d = -1$

$a+7d = 29$

$5d = 30$

$d = 6$

$a = -13$

第11項から第15項までの和は、$5(a + 12d) = 5(-13 + 12*6) = 5(-13 + 72) = 5(59) = 295$

3. 最終的な答え

295