次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3^n$ (2) $a_1 = 0, a_{n+1} = a_n + 2n + 1$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3^n$

(2) $a_1 = 0, a_{n+1} = a_n + 2n + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 3^n$ の漸化式より、階差数列を考えることができます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ (ただし、$n \ge 2$)

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 3}{2}$

したがって、

$a_n = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{2 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$ (ただし、$n \ge 2$)

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{3^1 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、与えられた条件を満たします。

よって、$a_n = \frac{3^n - 1}{2}$ ($n \ge 1$)

(2) $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ の漸化式より、階差数列を考えることができます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$ (ただし、$n \ge 2$)

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = n(n-1) + (n-1) = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1$

したがって、

$a_n = 0 + n^2 - 1 = n^2 - 1$ (ただし、$n \ge 2$)

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 = 0$ となり、与えられた条件を満たします。

よって、$a_n = n^2 - 1$ ($n \ge 1$)

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3^n - 1}{2}$

(2) $a_n = n^2 - 1$