次の式を計算します。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) それぞれの分数を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ を掛けます。

その後、引き算を実行します。

(2) それぞれの分数を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$ を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{3}-1$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を掛けます。

その後、足し算を実行します。

(1)

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = (\sqrt{3}-\sqrt{2}) - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) = \sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

(2)

$\frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-2\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$