与えられた連立一次方程式が解を持つための $a$、$b$ の条件を求めます。 (1) $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が解を持つための $a$、$b$ の条件を求めます。

(1)

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$

(2)

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた連立一次方程式を行列で表し、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & 1 & | & b \end{bmatrix}$

この拡大係数行列を簡約化します。

まず、3行目を2倍して1行目から引きます。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 0 & 1 & -1 & | & 2b - 1 \end{bmatrix}$

次に、3行目に2行目を加えます。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 \\ 0 & -1 & 1 & | & a \\ 0 & 0 & 0 & | & 2b + a - 1 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式が解を持つための条件は、$2b + a - 1 = 0$ となることです。

(2)

与えられた連立一次方程式を行列で表し、拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 2 & -2 & a & | & 5 \end{bmatrix}$

この拡大係数行列を簡約化します。

まず、2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & 0 & | & 3 \\ 2 & -2 & a & | & 5 \end{bmatrix}$

次に、3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & 0 & | & 3 \\ 0 & 0 & a - 2 & | & 1 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式が解を持つための条件は、$a - 2 \neq 0$ または $a - 2 = 0$ かつ $1 = 0$ が成り立たないことです。

したがって、$a \neq 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a + 2b = 1$

(2) $a \neq 2$