与えられた漸化式と初期条件から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は、(2)の問題 $a_1 = 0, a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式と初期条件から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。今回は、(2)の問題 $a_1 = 0, a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n + 1$ は階差数列型なので、 $n \ge 2$ のとき、次のように一般項を求めることができます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$

ここで $a_1 = 0$ なので、

$a_n = \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n - 1$

したがって、

$a_n = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = n(n-1) + (n-1) = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1$

これは $n \ge 2$ のとき成り立つ式です。 $n=1$ のとき $a_1 = 1^2 - 1 = 0$ となり、$a_1 = 0$ を満たすので、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - 1$