与えられた式 $(x+2y-1)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1)$ を展開する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2y-1)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1)$ を展開する。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開する。

まず、$(x+2y-1)$ の各項を $(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1)$ に分配して計算する。

$x(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1) = x^3 - 2x^2y + 4xy^2 + x^2 + 2xy + x$

$2y(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1) = 2x^2y - 4xy^2 + 8y^3 + 2xy + 4y^2 + 2y$

$-1(x^2 - 2xy + 4y^2 + x + 2y + 1) = -x^2 + 2xy - 4y^2 - x - 2y - 1$

上記の3つの式を足し合わせる。

$(x^3 - 2x^2y + 4xy^2 + x^2 + 2xy + x) + (2x^2y - 4xy^2 + 8y^3 + 2xy + 4y^2 + 2y) + (-x^2 + 2xy - 4y^2 - x - 2y - 1)$

項を整理する。

$x^3 + (-2x^2y + 2x^2y) + (4xy^2 - 4xy^2) + (x^2 - x^2) + (2xy + 2xy + 2xy) + (x - x) + (4y^2 - 4y^2) + (2y - 2y) + 8y^3 - 1$

$x^3 + 0 + 0 + 0 + 6xy + 0 + 0 + 0 + 8y^3 - 1$

$x^3 + 8y^3 + 6xy - 1$

3. 最終的な答え

$x^3 + 8y^3 - 1$

正しくは、

$x^3 + 8y^3 + 6xy - 1$

これは、$x^3 + (2y)^3 - 1 + 3x(2y)$ であるため、因数分解の公式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を使用する事を考える。

$a=x$, $b=2y$, $c=-1$ とすると、$x^3 + (2y)^3 + (-1)^3 - 3(x)(2y)(-1) = x^3 + 8y^3 -1 + 6xy$となる。

よって、$x^3 + 8y^3 + 6xy - 1$

公式に当てはめると、$(x + 2y - 1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy + x + 2y)$となる。

これは与えられた式と同じである。

最終的な答え：$x^3 + 8y^3 - 1 + 6xy$

$x^3+8y^3+6xy-1$