与えられた複素数の絶対値を求める問題です。以下の4つの複素数について絶対値を計算します。 (1) $3-2i$ (2) $(2-i)(1-2i)$ (3) $\frac{2-i}{2+i}$ (4) $\frac{3-4i}{1+2i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の絶対値を求める問題です。以下の4つの複素数について絶対値を計算します。

(1) $3-2i$

(2) $(2-i)(1-2i)$

(3) $\frac{2-i}{2+i}$

(4) $\frac{3-4i}{1+2i}$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ の絶対値 $|z|$ は、 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で計算できます。

(1) $3-2i$ の絶対値:

$|3-2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

(2) $(2-i)(1-2i)$ の絶対値:

まず、複素数を計算します。

$(2-i)(1-2i) = 2 - 4i - i + 2i^2 = 2 - 5i - 2 = -5i$

次に、絶対値を計算します。

$|-5i| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$

あるいは、絶対値の性質 $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ を利用して

$|(2-i)(1-2i)| = |2-i||1-2i| = \sqrt{2^2+(-1)^2}\sqrt{1^2+(-2)^2} = \sqrt{5}\sqrt{5} = 5$

(3) $\frac{2-i}{2+i}$ の絶対値:

まず、分母を実数化します。

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 4i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

次に、絶対値を計算します。

$\left|\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\right| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$

あるいは、絶対値の性質 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ を利用して

$\left|\frac{2-i}{2+i}\right| = \frac{|2-i|}{|2+i|} = \frac{\sqrt{2^2+(-1)^2}}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$

(4) $\frac{3-4i}{1+2i}$ の絶対値:

まず、分母を実数化します。

$\frac{3-4i}{1+2i} = \frac{(3-4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{3 - 6i - 4i + 8i^2}{1 - 4i^2} = \frac{3 - 10i - 8}{1 + 4} = \frac{-5 - 10i}{5} = -1 - 2i$

次に、絶対値を計算します。

$|-1 - 2i| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

あるいは、絶対値の性質 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ を利用して

$\left|\frac{3-4i}{1+2i}\right| = \frac{|3-4i|}{|1+2i|} = \frac{\sqrt{3^2+(-4)^2}}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{\sqrt{9+16}}{\sqrt{1+4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{13}$

(2) $5$

(3) $1$

(4) $\sqrt{5}$