$\frac{1}{3} \le x \le 27$ のとき、関数 $y = (\log_3 3x)(\log_3 \frac{x}{27})$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{3} \le x \le 27$ のとき、関数 $y = (\log_3 3x)(\log_3 \frac{x}{27})$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を変形します。

$\log_3 3x = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x$

$\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27 = \log_3 x - 3$

$t = \log_3 x$ と置くと、

$y = (1+t)(t-3) = t^2 - 2t - 3$

次に、$x$ の範囲から $t$ の範囲を求めます。

$\frac{1}{3} \le x \le 27$ より

$\log_3 \frac{1}{3} \le \log_3 x \le \log_3 27$

$-1 \le t \le 3$

$y = t^2 - 2t - 3 = (t-1)^2 - 4$

この関数は $t=1$ で最小値 $-4$ をとります。

$t$ の範囲は $-1 \le t \le 3$ なので、最小値は範囲内にあります。

最大値は、$t=-1$ または $t=3$ でとります。

$t=-1$ のとき、 $y = (-1-1)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

$t=3$ のとき、 $y = (3-1)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

したがって、最大値は $0$ です。

$t=1$ のとき、$x=3^1=3$

$t=-1$ のとき、$x=3^{-1}=\frac{1}{3}$

$t=3$ のとき、$x=3^3=27$

3. 最終的な答え

最大値: 0 ($x=\frac{1}{3}, 27$ のとき)

最小値: -4 ($x=3$ のとき)