$x$ についての2次方程式 $x^2 + 4px + 2p^2 + 3 = 0$ の2つの解がともに正であり、一方の解が他方の解より2大きいとき、定数 $p$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x$ についての2次方程式 $x^2 + 4px + 2p^2 + 3 = 0$ の2つの解がともに正であり、一方の解が他方の解より2大きいとき、定数 $p$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + 4px + 2p^2 + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\alpha + 2$ とします。

解と係数の関係より、

$$\alpha + (\alpha + 2) = -4p$$

$$\alpha (\alpha + 2) = 2p^2 + 3$$

上の式から、

$$2\alpha + 2 = -4p$$

$$\alpha + 1 = -2p$$

$$\alpha = -2p - 1$$

下の式に $\alpha = -2p - 1$ を代入すると、

$$(-2p - 1)(-2p - 1 + 2) = 2p^2 + 3$$

$$(-2p - 1)(-2p + 1) = 2p^2 + 3$$

$$4p^2 - 1 = 2p^2 + 3$$

$$2p^2 = 4$$

$$p^2 = 2$$

$$p = \pm \sqrt{2}$$

解 $\alpha$, $\alpha + 2$ がともに正であることから、$\alpha > 0$ が必要です。

$\alpha = -2p - 1 > 0$ より、

$-2p > 1$

$p < -\frac{1}{2}$

$p = \pm \sqrt{2}$ のうち、$p < -\frac{1}{2}$ を満たすのは $p = -\sqrt{2}$ のみです。

$\alpha = -2(-\sqrt{2}) - 1 = 2\sqrt{2} - 1$

$\alpha + 2 = 2\sqrt{2} + 1$

これらは確かに正です。

3. 最終的な答え

$p = -\sqrt{2}$