与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4$ を因数分解し、整理された形を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4$ を因数分解し、整理された形を求めます。

2. 解き方の手順

まず、式の中の積の順序を工夫します。$(x-1)$ と $(x+3)$ 、$(x-2)$ と $(x+4)$ をそれぞれ先に計算すると、共通の項が現れやすくなります。

$(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$

$(x-2)(x+4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$

よって、与式は

$(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 8) + 4$ となります。

ここで、$A = x^2 + 2x$ とおくと、

$(A - 3)(A - 8) + 4$ となり、展開すると、

$A^2 - 11A + 24 + 4 = A^2 - 11A + 28$

これは、$A$ についての2次式であり、因数分解できます。

$A^2 - 11A + 28 = (A - 4)(A - 7)$

ここで、$A = x^2 + 2x$ を代入して戻すと、

$(x^2 + 2x - 4)(x^2 + 2x - 7)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x - 4)(x^2 + 2x - 7)$