与えられた式 $x^2 + 3y^2 + 4xy - 3x - y - 4$ を整理して、因数分解または平方完成などを行い、どのような式に変形できるか考えます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 3y^2 + 4xy - 3x - y - 4$ を整理して、因数分解または平方完成などを行い、どのような式に変形できるか考えます。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理してみます。

$x^2 + (4y - 3)x + 3y^2 - y - 4$

平方完成を試みます。

$x^2 + (4y - 3)x + (2y - \frac{3}{2})^2 - (2y - \frac{3}{2})^2 + 3y^2 - y - 4$

$(x + 2y - \frac{3}{2})^2 - (4y^2 - 6y + \frac{9}{4}) + 3y^2 - y - 4$

$(x + 2y - \frac{3}{2})^2 - y^2 + 5y - \frac{25}{4}$

$(x + 2y - \frac{3}{2})^2 - (y^2 - 5y + \frac{25}{4})$

$(x + 2y - \frac{3}{2})^2 - (y - \frac{5}{2})^2$

ここで、$A = x + 2y - \frac{3}{2}$ および $B = y - \frac{5}{2}$ とおくと、式は $A^2 - B^2$ となり、これは $(A + B)(A - B)$ と因数分解できます。

$A + B = x + 2y - \frac{3}{2} + y - \frac{5}{2} = x + 3y - 4$

$A - B = x + 2y - \frac{3}{2} - (y - \frac{5}{2}) = x + y + 1$

したがって、元の式は $(x + 3y - 4)(x + y + 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 3y - 4)(x + y + 1)$