次の等式が成り立つことを証明する問題です。 $(1 + \sin\theta + \cos\theta)(1 + \sin\theta - \cos\theta) = 2(1 + \sin\theta)\sin\theta$

1. 問題の内容

次の等式が成り立つことを証明する問題です。

$(1 + \sin\theta + \cos\theta)(1 + \sin\theta - \cos\theta) = 2(1 + \sin\theta)\sin\theta$

2. 解き方の手順

左辺を展開し、右辺と同じ形になるように変形します。

左辺を展開します。

$(1 + \sin\theta + \cos\theta)(1 + \sin\theta - \cos\theta) = (1 + \sin\theta)^2 - (\cos\theta)^2$

$(1 + \sin\theta)^2$ を展開します。

$(1 + \sin\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta + \sin^2\theta$

$\cos^2\theta$ を $1 - \sin^2\theta$ で置き換えます。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$

先ほどの式に代入します。

$(1 + \sin\theta)^2 - (\cos\theta)^2 = (1 + 2\sin\theta + \sin^2\theta) - (1 - \sin^2\theta)$

展開して整理します。

$1 + 2\sin\theta + \sin^2\theta - 1 + \sin^2\theta = 2\sin\theta + 2\sin^2\theta$

$2\sin\theta + 2\sin^2\theta$ を $2\sin\theta(1 + \sin\theta)$ と書き換えます。

$2\sin\theta + 2\sin^2\theta = 2(1 + \sin\theta)\sin\theta$

これは右辺に等しいので、与えられた等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

$(1 + \sin\theta + \cos\theta)(1 + \sin\theta - \cos\theta) = 2(1 + \sin\theta)\sin\theta$が成り立つ