次の式を因数分解する問題です。 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$

1. 問題の内容

次の式を因数分解する問題です。

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ の式を、展開しやすいように組み合わせます。

$(x-1)(x-7)$と$(x-3)(x-5)$をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$ と置換すると、与式は

$(A+7)(A+15) + 15$

となります。展開すると

$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

となります。さらに因数分解すると

$A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

となります。

ここで、$A = x^2 - 8x$ を代入します。

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

さらに、$(x^2 - 8x + 12)$の部分は因数分解できます。

$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

よって、

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$