与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理して因数分解します。

ステップ1：式を展開する

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

ステップ2：式を整理する

$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc = a^2b + a^2c + abc + b^2c + b^2a + abc + c^2a + c^2b + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc$

ステップ3：因数分解する

$a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$= ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) + 3abc$

$= ab(a+b) + ac(a+b+c-b) + bc(b+c) + 3abc$

$= ab(a+b) + ac(a+b) + ac^2 - abc + bc(b+c) + 3abc$

$= a(a+b)(b+c) + c(a+b)(b+c)$

$= (a+b)(b+c)c + ac^2 + 2abc$

$= ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) + 3abc$

$= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$を展開する。

$(a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = abc + ac^2 + ab^2 + abc + b^2c + bc^2 + b^3 + b^2c$

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc+ba+c^2+ca) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

元の式は $a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

元の式 - $(a+b)(b+c)(c+a) = a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc - a^2b - a^2c - b^2a - b^2c - c^2a - c^2b - 2abc = abc + abc = 0$。

したがって、$a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$