与えられた関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。関数は二次関数であり、定義域も与えられています。関数は以下の4つです。 (1) $y = (x-3)^2 - 1$ ($0 \le x \le 2$) (2) $y = -(x-1)^2 + 4$ ($-1 \le x \le 3$) (3) $y = x^2 - 2x - 3$ ($0 < x < 1$) (4) $y = -x^2 + 2x + 2$ ($x \ge 2$)

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。関数は二次関数であり、定義域も与えられています。関数は以下の4つです。

(1) $y = (x-3)^2 - 1$ ($0 \le x \le 2$)

(2) $y = -(x-1)^2 + 4$ ($-1 \le x \le 3$)

(3) $y = x^2 - 2x - 3$ ($0 < x < 1$)

(4) $y = -x^2 + 2x + 2$ ($x \ge 2$)

2. 解き方の手順

各関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

次に、定義域の端点における関数の値を計算します。

これらの値と頂点の$y$座標を比較することで、最大値と最小値を求めます。

ただし、定義域に頂点が含まれていない場合や、定義域の端点が不等号で含まれていない場合は、最大値または最小値が存在しないことがあります。

(1) $y = (x-3)^2 - 1$ ($0 \le x \le 2$)

頂点は $(3, -1)$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ なので、頂点は定義域に含まれません。

$x=0$ のとき、$y = (0-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

$x=2$ のとき、$y = (2-3)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

最小値：$0$ ($x=2$)

最大値：$8$ ($x=0$)

(2) $y = -(x-1)^2 + 4$ ($-1 \le x \le 3$)

頂点は $(1, 4)$ です。定義域は $-1 \le x \le 3$ なので、頂点は定義域に含まれます。

$x=-1$ のとき、$y = -(-1-1)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$

$x=3$ のとき、$y = -(3-1)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$

最大値：$4$ ($x=1$)

最小値：$0$ ($x=-1, 3$)

(3) $y = x^2 - 2x - 3$ ($0 < x < 1$)

$y = (x-1)^2 - 4$

頂点は $(1, -4)$ です。定義域は $0 < x < 1$ なので、頂点は定義域に含まれません。

$x=0$ に近づくと、$y = 0 - 0 - 3 = -3$

$x=1$ に近づくと、$y = 1 - 2 - 3 = -4$

$x=0$と$x=1$は定義域に含まれないため、最大値、最小値はありません。

最大値：なし

最小値：なし

(4) $y = -x^2 + 2x + 2$ ($x \ge 2$)

$y = -(x-1)^2 + 3$

頂点は $(1, 3)$ です。定義域は $x \ge 2$ なので、頂点は定義域に含まれません。

$x=2$ のとき、$y = -4 + 4 + 2 = 2$

$x$ が大きくなるにつれて、$y$ は減少します。

最大値：$2$ ($x=2$)

最小値：なし

3. 最終的な答え

(1) 最大値：$8$ ($x=0$)、最小値：$0$ ($x=2$)

(2) 最大値：$4$ ($x=1$)、最小値：$0$ ($x=-1, 3$)

(3) 最大値：なし、最小値：なし

(4) 最大値：$2$ ($x=2$)、最小値：なし