実数 $k$ に対して、3次式 $f(x) = x^3 - kx^2 - 1$ の方程式 $f(x) = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。$g(x)$ は $x^3$ の係数が1である3次式で、$g(x) = 0$ の3つの解が $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ であるとする。 (1) $g(x)$ を $k$ を用いて表せ。 (2) 2つの方程式 $f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ が共通の解をもつような $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $k$ に対して、3次式 $f(x) = x^3 - kx^2 - 1$ の方程式 $f(x) = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。$g(x)$ は $x^3$ の係数が1である3次式で、$g(x) = 0$ の3つの解が $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ であるとする。

(1) $g(x)$ を $k$ を用いて表せ。

(2) 2つの方程式 $f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ が共通の解をもつような $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = k$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0$

$\alpha\beta\gamma = 1$

$g(x) = 0$ の3つの解が $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ であるから、解と係数の関係より、

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0$

$\alpha\beta\cdot\beta\gamma + \beta\gamma\cdot\gamma\alpha + \gamma\alpha\cdot\alpha\beta = \alpha\beta^2\gamma + \alpha\beta\gamma^2 + \alpha^2\beta\gamma = \alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma) = 1\cdot k = k$

$\alpha\beta\cdot\beta\gamma\cdot\gamma\alpha = (\alpha\beta\gamma)^2 = 1^2 = 1$

したがって、$g(x) = x^3 - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x^2 + (\alpha\beta^2\gamma + \alpha\beta\gamma^2 + \alpha^2\beta\gamma)x - \alpha\beta\cdot\beta\gamma\cdot\gamma\alpha = x^3 - 0\cdot x^2 + kx - 1 = x^3 + kx - 1$

(2) $f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ が共通の解を持つとする。共通解を $a$ とすると、

$f(a) = a^3 - ka^2 - 1 = 0$

$g(a) = a^3 + ka - 1 = 0$

この2式を引き算すると、

$(a^3 - ka^2 - 1) - (a^3 + ka - 1) = 0$

$-ka^2 - ka = 0$

$-ka(a+1) = 0$

したがって、$k = 0$ または $a = 0$ または $a = -1$

i) $k = 0$ のとき、

$f(x) = x^3 - 1 = 0$

$g(x) = x^3 - 1 = 0$

$f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ は同じ方程式なので共通解を持つ。

ii) $a = 0$ のとき、

$f(0) = 0^3 - k\cdot 0^2 - 1 = -1 \neq 0$ となり不適。

iii) $a = -1$ のとき、

$f(-1) = (-1)^3 - k(-1)^2 - 1 = -1 - k - 1 = -k - 2 = 0$ より $k = -2$

$g(-1) = (-1)^3 + k(-1) - 1 = -1 - k - 1 = -k - 2 = 0$ より $k = -2$

以上より、$k = 0, -2$

3. 最終的な答え

(1) $g(x) = x^3 + kx - 1$

(2) $k = 0, -2$