(1) 多項式 $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 7$ と $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ が与えられたとき、$\{P(x)\}^3$ を $Q(x)$ で割ったときの商と余りを求めよ。 (2) 多項式 $x^{2023} - 1$ を多項式 $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 7$ と $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ が与えられたとき、$\{P(x)\}^3$ を $Q(x)$ で割ったときの商と余りを求めよ。

(2) 多項式 $x^{2023} - 1$ を多項式 $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x - 7$ を $Q(x) = x^2 + 2x - 3$ で割ります。

$P(x) = (2x+1)Q(x) - 4$

よって、$P(x) = (2x+1)(x^2+2x-3) - 4$

$\{P(x)\}^3 = \{(2x+1)(x^2+2x-3) - 4\}^3$

$= (2x+1)^3 (x^2+2x-3)^3 - 3(2x+1)^2(x^2+2x-3)^2 (4) + 3(2x+1)(x^2+2x-3)(4^2) - 4^3$

$= (2x+1)^3 (x^2+2x-3)^3 - 12(2x+1)^2(x^2+2x-3)^2 + 48(2x+1)(x^2+2x-3) - 64$

$\{P(x)\}^3 = (x^2+2x-3) \{(2x+1)^3 (x^2+2x-3)^2 - 12(2x+1)^2(x^2+2x-3) + 48(2x+1) \} - 64$

したがって、$\{P(x)\}^3$を$Q(x)$で割ったときの余りは $-64$ である。

商は $(2x+1)^3 (x^2+2x-3)^2 - 12(2x+1)^2(x^2+2x-3) + 48(2x+1)$.

(2)

$P(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ とします。

$x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

つまり、$x^5 - 1 = (x-1)P(x)$. よって、$x^5 \equiv 1 \pmod{P(x)}$.

$x^{2023} - 1 = x^{5 \cdot 404 + 3} - 1 = (x^5)^{404} \cdot x^3 - 1$

よって、

$x^{2023} - 1 \equiv 1^{404} \cdot x^3 - 1 \pmod{P(x)}$.

$x^{2023} - 1 \equiv x^3 - 1 \pmod{P(x)}$.

したがって、$x^{2023} - 1$ を $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ で割ったときの余りは $x^3 - 1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 商: $(2x+1)^3 (x^2+2x-3)^2 - 12(2x+1)^2(x^2+2x-3) + 48(2x+1)$、余り: $-64$

(2) 余り: $x^3 - 1$