与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理し、共通因数を見つけて因数分解します。

まず、$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を $a$ について整理します。

$a^2(b-c) + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

$= (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

ここで、$(b-c)$ が共通因数であることに注目し、くくり出します。

$(b-c)\{a^2 - (b+c)a + bc\}$

次に、中括弧の中の二次式を因数分解します。

$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$

したがって、

$(b-c)\{a^2 - (b+c)a + bc\} = (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式の因数分解の結果は $-(a-b)(b-c)(c-a)$ です。