次の和を求めよ。 (1) $\sum_{k=1}^{15} 2$ (2) $\sum_{k=1}^{50} k$ (3) $\sum_{k=1}^{12} k^2$ (4) $\sum_{k=1}^{7} k^3$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2$

(2) $\sum_{k=1}^{50} k$

(3) $\sum_{k=1}^{12} k^2$

(4) $\sum_{k=1}^{7} k^3$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2$ は、定数 $2$ を $15$ 回足し合わせるという意味なので、 $2 \times 15$ で計算できます。

(2) $\sum_{k=1}^{50} k$ は、 $1$ から $50$ までの自然数の和です。等差数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、$n = 50$ として、 $\frac{50(50+1)}{2}$ で計算できます。

(3) $\sum_{k=1}^{12} k^2$ は、 $1^2$ から $12^2$ までの自然数の二乗の和です。二乗の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用いると、$n = 12$ として、 $\frac{12(12+1)(2 \times 12 + 1)}{6}$ で計算できます。

(4) $\sum_{k=1}^{7} k^3$ は、 $1^3$ から $7^3$ までの自然数の三乗の和です。三乗の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2$ を用いると、$n = 7$ として、 $\left\{ \frac{7(7+1)}{2} \right\}^2$ で計算できます。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{15} 2 = 2 \times 15 = 30$

(2) $\sum_{k=1}^{50} k = \frac{50(50+1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275$

(3) $\sum_{k=1}^{12} k^2 = \frac{12(12+1)(2 \times 12 + 1)}{6} = \frac{12 \times 13 \times 25}{6} = 2 \times 13 \times 25 = 26 \times 25 = 650$

(4) $\sum_{k=1}^{7} k^3 = \left\{ \frac{7(7+1)}{2} \right\}^2 = \left\{ \frac{7 \times 8}{2} \right\}^2 = (7 \times 4)^2 = 28^2 = 784$

答え:

(1) 30

(2) 1275

(3) 650

(4) 784