$P = 2x^2 + x - 1$、 $Q = -4x^2 + 4x + 2$ のとき、以下の計算をせよ。 (1) $P - Q$ (2) $5(P - 2Q) - (3P - 7Q)$

代数学多項式式の計算展開
2025/5/17

1. 問題の内容

P=2x2+x1P = 2x^2 + x - 1Q=4x2+4x+2Q = -4x^2 + 4x + 2 のとき、以下の計算をせよ。
(1) PQP - Q
(2) 5(P2Q)(3P7Q)5(P - 2Q) - (3P - 7Q)

2. 解き方の手順

(1) PQP - Q を計算する。
PQ=(2x2+x1)(4x2+4x+2)P - Q = (2x^2 + x - 1) - (-4x^2 + 4x + 2)
PQ=2x2+x1+4x24x2P - Q = 2x^2 + x - 1 + 4x^2 - 4x - 2
PQ=(2x2+4x2)+(x4x)+(12)P - Q = (2x^2 + 4x^2) + (x - 4x) + (-1 - 2)
PQ=6x23x3P - Q = 6x^2 - 3x - 3
(2) 5(P2Q)(3P7Q)5(P - 2Q) - (3P - 7Q) を計算する。
まず、5(P2Q)5(P - 2Q)(3P7Q)(3P - 7Q) を展開する。
5(P2Q)=5P10Q5(P - 2Q) = 5P - 10Q
3P7Q=3P7Q3P - 7Q = 3P - 7Q
次に、5(P2Q)(3P7Q)5(P - 2Q) - (3P - 7Q) を計算する。
5(P2Q)(3P7Q)=(5P10Q)(3P7Q)5(P - 2Q) - (3P - 7Q) = (5P - 10Q) - (3P - 7Q)
5(P2Q)(3P7Q)=5P10Q3P+7Q5(P - 2Q) - (3P - 7Q) = 5P - 10Q - 3P + 7Q
5(P2Q)(3P7Q)=(5P3P)+(10Q+7Q)5(P - 2Q) - (3P - 7Q) = (5P - 3P) + (-10Q + 7Q)
5(P2Q)(3P7Q)=2P3Q5(P - 2Q) - (3P - 7Q) = 2P - 3Q
PPQQ の値を代入する。
2P3Q=2(2x2+x1)3(4x2+4x+2)2P - 3Q = 2(2x^2 + x - 1) - 3(-4x^2 + 4x + 2)
2P3Q=4x2+2x2(12x2+12x+6)2P - 3Q = 4x^2 + 2x - 2 - (-12x^2 + 12x + 6)
2P3Q=4x2+2x2+12x212x62P - 3Q = 4x^2 + 2x - 2 + 12x^2 - 12x - 6
2P3Q=(4x2+12x2)+(2x12x)+(26)2P - 3Q = (4x^2 + 12x^2) + (2x - 12x) + (-2 - 6)
2P3Q=16x210x82P - 3Q = 16x^2 - 10x - 8

3. 最終的な答え

(1) PQ=6x23x3P - Q = 6x^2 - 3x - 3
(2) 5(P2Q)(3P7Q)=16x210x85(P - 2Q) - (3P - 7Q) = 16x^2 - 10x - 8

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