与えられた2つの式を展開したとき、項がそれぞれ何個できるか求めます。 (1) $(a+b)(x+y+z+u)$ (2) $(a+b+c)(p+q)(x+y+z)$

代数学式の展開多項式項の数
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた2つの式を展開したとき、項がそれぞれ何個できるか求めます。
(1) (a+b)(x+y+z+u)(a+b)(x+y+z+u)
(2) (a+b+c)(p+q)(x+y+z)(a+b+c)(p+q)(x+y+z)

2. 解き方の手順

(1) (a+b)(x+y+z+u)(a+b)(x+y+z+u) について
aa(x+y+z+u)(x+y+z+u) のそれぞれの項にかけると ax+ay+az+auax + ay + az + au で、4つの項ができます。
bb(x+y+z+u)(x+y+z+u) のそれぞれの項にかけると bx+by+bz+bubx + by + bz + bu で、4つの項ができます。
したがって、(a+b)(x+y+z+u)(a+b)(x+y+z+u) を展開すると、4 + 4 = 8 個の項ができます。
(2) (a+b+c)(p+q)(x+y+z)(a+b+c)(p+q)(x+y+z) について
まず、(a+b+c)(p+q)(a+b+c)(p+q) を展開すると、aa(p+q)(p+q) のそれぞれの項にかけると ap+aqap+aqbb(p+q)(p+q) のそれぞれの項にかけると bp+bqbp+bqcc(p+q)(p+q) のそれぞれの項にかけると cp+cqcp+cq。 よって、(a+b+c)(p+q)=ap+aq+bp+bq+cp+cq(a+b+c)(p+q) = ap+aq+bp+bq+cp+cqとなり、6つの項ができます。
次に、(ap+aq+bp+bq+cp+cq)(x+y+z)(ap+aq+bp+bq+cp+cq)(x+y+z) を展開します。
(ap+aq+bp+bq+cp+cq)(ap+aq+bp+bq+cp+cq)のそれぞれの項に(x+y+z)(x+y+z)のそれぞれの項をかけます。
apap(x+y+z)(x+y+z)にかけるとapx+apy+apzapx+apy+apzで3項
aqaq(x+y+z)(x+y+z)にかけるとaqx+aqy+aqzaqx+aqy+aqzで3項
bpbp(x+y+z)(x+y+z)にかけるとbpx+bpy+bpzbpx+bpy+bpzで3項
bqbq(x+y+z)(x+y+z)にかけるとbqx+bqy+bqzbqx+bqy+bqzで3項
cpcp(x+y+z)(x+y+z)にかけるとcpx+cpy+cpzcpx+cpy+cpzで3項
cqcq(x+y+z)(x+y+z)にかけるとcqx+cqy+cqzcqx+cqy+cqzで3項
合計で3×6=18個の項ができます。

3. 最終的な答え

(1) 8個
(2) 18個

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