与えられた2つの式を展開したとき、項がそれぞれ何個できるか求めます。 (1) $(a+b)(x+y+z+u)$ (2) $(a+b+c)(p+q)(x+y+z)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を展開したとき、項がそれぞれ何個できるか求めます。

(1) $(a+b)(x+y+z+u)$

(2) $(a+b+c)(p+q)(x+y+z)$

2. 解き方の手順

(1) $(a+b)(x+y+z+u)$ について

$a$ を $(x+y+z+u)$ のそれぞれの項にかけると $ax + ay + az + au$ で、4つの項ができます。

$b$ を $(x+y+z+u)$ のそれぞれの項にかけると $bx + by + bz + bu$ で、4つの項ができます。

したがって、$(a+b)(x+y+z+u)$ を展開すると、4 + 4 = 8 個の項ができます。

(2) $(a+b+c)(p+q)(x+y+z)$ について

まず、$(a+b+c)(p+q)$ を展開すると、$a$ を $(p+q)$ のそれぞれの項にかけると $ap+aq$ 、$b$ を $(p+q)$ のそれぞれの項にかけると $bp+bq$ 、$c$ を $(p+q)$ のそれぞれの項にかけると $cp+cq$。 よって、$(a+b+c)(p+q) = ap+aq+bp+bq+cp+cq$となり、6つの項ができます。

次に、$(ap+aq+bp+bq+cp+cq)(x+y+z)$ を展開します。

$(ap+aq+bp+bq+cp+cq)$のそれぞれの項に$(x+y+z)$のそれぞれの項をかけます。

$ap$を$(x+y+z)$にかけると$apx+apy+apz$で3項

$aq$を$(x+y+z)$にかけると$aqx+aqy+aqz$で3項

$bp$を$(x+y+z)$にかけると$bpx+bpy+bpz$で3項

$bq$を$(x+y+z)$にかけると$bqx+bqy+bqz$で3項

$cp$を$(x+y+z)$にかけると$cpx+cpy+cpz$で3項

$cq$を$(x+y+z)$にかけると$cqx+cqy+cqz$で3項

合計で3×6=18個の項ができます。

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) 18個