与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた式 a(bc)2+b(ca)2+c(ab)2+8abca(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc を因数分解します。

2. 解き方の手順

(1) 式を展開します。
a(b22bc+c2)+b(c22ac+a2)+c(a22ab+b2)+8abca(b^2 - 2bc + c^2) + b(c^2 - 2ac + a^2) + c(a^2 - 2ab + b^2) + 8abc
=ab22abc+ac2+bc22abc+ba2+ca22abc+cb2+8abc= ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc
=ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb26abc+8abc= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 - 6abc + 8abc
=ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2+2abc= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc
(2) 上の式を整理します。この式はa,b,cのどの文字に関しても2次式であるため、ここではaについて整理します。
a2(b+c)+a(b2+c2+2bc)+(b2c+bc2)a^2(b+c) + a(b^2+c^2+2bc) + (b^2c+bc^2)
=a2(b+c)+a(b+c)2+bc(b+c)= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)
(3) (b+c)(b+c)でくくります。
(b+c)(a2+a(b+c)+bc)(b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)
=(b+c)(a2+ab+ac+bc)= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)
(4) 括弧の中身を因数分解します。
(b+c)[a(a+b)+c(a+b)](b+c)[a(a+b) + c(a+b)]
=(b+c)(a+b)(a+c)= (b+c)(a+b)(a+c)
(5) 見やすいように並び替えます。
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)(c+a)

3. 最終的な答え

(a+b)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)(c+a)

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