与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

(1) 式を展開します。

$a(b^2 - 2bc + c^2) + b(c^2 - 2ac + a^2) + c(a^2 - 2ab + b^2) + 8abc$

$= ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 - 6abc + 8abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

(2) 上の式を整理します。この式はa,b,cのどの文字に関しても2次式であるため、ここではaについて整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+2bc) + (b^2c+bc^2)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

(3) $(b+c)$でくくります。

$(b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

(4) 括弧の中身を因数分解します。

$(b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

(5) 見やすいように並び替えます。

$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$