$\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{4}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。

$\frac{4}{\sqrt{3}-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{2} = 2(\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}+2$

$\sqrt{3}$ の近似値を考えます。$1 < \sqrt{3} < 2$ であることは明らかですが、より正確に評価します。

$1.7^2 = 2.89$

$1.8^2 = 3.24$

より、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ であることがわかります。

したがって、$2\sqrt{3}$ は $2(1.7) = 3.4$ と $2(1.8) = 3.6$ の間の値です。

さらに $2\sqrt{3}+2$ は $3.4+2 = 5.4$ と $3.6+2 = 5.6$ の間の値です。

$\sqrt{3} = 1.732...$ であるので、$2\sqrt{3} = 3.464...$ となります。

したがって、$2\sqrt{3}+2 = 5.464...$

よって、$2\sqrt{3}+2$ の整数部分は $a=5$ であり、小数部分は $b = (2\sqrt{3}+2) - 5 = 2\sqrt{3} - 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 2\sqrt{3} - 3$