問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) 命題「$n$ と $\frac{n(n+1)}{2}$ はともに4の倍数である」の否定命題を作成する。 (2) 命題「$n^2+2$ は3の倍数ではない、または、$n$ は8以上である」の否定命題を作成する。 (3) (2)で答えた否定命題を満たすような$n$を全て求める。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分から構成されています。

(1) 命題「$n$ と $\frac{n(n+1)}{2}$ はともに4の倍数である」の否定命題を作成する。

(2) 命題「$n^2+2$ は3の倍数ではない、または、$n$ は8以上である」の否定命題を作成する。

(3) (2)で答えた否定命題を満たすような$n$を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) 命題「$P$ かつ $Q$」の否定は「$\overline{P}$ または $\overline{Q}$」となります。

したがって、「$n$ と $\frac{n(n+1)}{2}$ はともに4の倍数である」の否定は「$n$ が4の倍数ではない、または、$\frac{n(n+1)}{2}$ が4の倍数ではない」となります。

(2) 命題「$P$ または $Q$」の否定は「$\overline{P}$ かつ $\overline{Q}$」となります。

したがって、「$n^2+2$ は3の倍数ではない、または、$n$ は8以上である」の否定は「$n^2+2$ は3の倍数である、かつ、$n$ は8未満である」となります。

(3) (2)で得られた否定命題「$n^2+2$ は3の倍数である、かつ、$n$ は8未満である」を満たす$n$を求める。$n$は正の整数であるため、$1 \leq n \leq 7$ であり、$n^2+2$が3の倍数となる$n$を見つける。

$n=1$ のとき、$n^2+2 = 1^2+2 = 3$ であり、3の倍数。

$n=2$ のとき、$n^2+2 = 2^2+2 = 6$ であり、3の倍数。

$n=3$ のとき、$n^2+2 = 3^2+2 = 11$ であり、3の倍数ではない。

$n=4$ のとき、$n^2+2 = 4^2+2 = 18$ であり、3の倍数。

$n=5$ のとき、$n^2+2 = 5^2+2 = 27$ であり、3の倍数。

$n=6$ のとき、$n^2+2 = 6^2+2 = 38$ であり、3の倍数ではない。

$n=7$ のとき、$n^2+2 = 7^2+2 = 51$ であり、3の倍数。

したがって、$n = 1, 2, 4, 5, 7$。

3. 最終的な答え

(1) $n$ が4の倍数ではない、または、$\frac{n(n+1)}{2}$ が4の倍数ではない。

(2) $n^2+2$ は3の倍数である、かつ、$n$ は8未満である。

(3) $n = 1, 2, 4, 5, 7$