$x$ の2次方程式 $4x^2 + 3x - m = 0$ について、以下の問いに答えます。 (ア) 異なる2つの実数解をもつように、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (イ) 重解をもつように、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $4x^2 + 3x - m = 0$ について、以下の問いに答えます。

(ア) 異なる2つの実数解をもつように、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(イ) 重解をもつように、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) 異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で計算されます。

この問題の場合、$a = 4$, $b = 3$, $c = -m$ なので、

$D = 3^2 - 4(4)(-m) = 9 + 16m$ となります。

$D > 0$ より、$9 + 16m > 0$ を解くと、$16m > -9$ となり、$m > -\frac{9}{16}$ が得られます。

(イ) 重解をもつ条件は、判別式 $D = 0$ であることです。

(ア) で求めた判別式 $D = 9 + 16m$ が0となる $m$ の値を求めます。

$9 + 16m = 0$ を解くと、$16m = -9$ となり、$m = -\frac{9}{16}$ が得られます。

このとき、2次方程式は $4x^2 + 3x + \frac{9}{16} = 0$ となります。

この式を整理すると、$64x^2 + 48x + 9 = 0$ となり、

$(8x + 3)^2 = 0$ と因数分解できます。

したがって、重解は $x = -\frac{3}{8}$ となります。

3. 最終的な答え

(ア) $m > -\frac{9}{16}$

(イ) $m = -\frac{9}{16}$, 重解 $x = -\frac{3}{8}$