$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$ と $y^2$ をそれぞれ計算します。

$x^2 = \left( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

$y^2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} \right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+1)^2} = \frac{2}{3 + 2\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

$y^2$ の分母を有理化します。

$y^2 = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$

次に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 4$