与えられた4x4の行列 $ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $ の逆行列を求めます。もし逆行列が存在しない場合は、「正則でない」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 1 & -1 \\

1 & 1 & -1 & 1 \\

1 & -1 & 1 & 1 \\

-1 & 1 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$

の逆行列を求めます。もし逆行列が存在しない場合は、「正則でない」と答えます。

2. 解き方の手順

与えられた行列をAとします。Aの逆行列を求めるために、掃き出し法を用います。

Aに4x4の単位行列を並べた拡大行列を作成し、左側の行列が単位行列になるように行基本変形を行います。

まず、行列式を計算して、逆行列が存在するかどうかを確認します。

$det(A) = 1(1(1 - 1) - (-1)(1 + 1) + 1(1 + 1)) - 1(1(1 - 1) - (-1)(1 + 1) + 1(1 + 1)) + 1(1(1 + 1) - 1(1 + 1) + 1(1 - (-1))) - (-1)(1(1 + 1) - 1(1 + 1) + (-1)(1 - (-1))) = 1(0 + 2 + 2) - 1(0 + 2 + 2) + 1(2 - 2 + 2) + 1(2 - 2 - 2) = 4 - 4 + 2 - 2 = 0$

行列式が0なので、Aは正則ではなく、逆行列は存在しません。

3. 最終的な答え

正則でない