与えられた式 $x^3 + y^3 - 3xy + 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + y^3 - 3xy + 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + y^3 + 1 - 3xy$ を変形する。

$1 = 1^3$ と考えると、$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1)$ の形になる。

これは、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ の公式に当てはまる。

この公式を利用すると、

$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1) = (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1^2 - xy - y(1) - x(1))$

$= (x+y+1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - y - x)$

したがって、$x^3 + y^3 - 3xy + 1 = (x+y+1)(x^2 + y^2 - xy -x -y + 1)$ となる。

3. 最終的な答え

$(x+y+1)(x^2+y^2-xy-x-y+1)$