与えられた3次同次式 $x^3 - x^2y - 2xy^2 + 8y^3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次同次式 $x^3 - x^2y - 2xy^2 + 8y^3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての3次式と見て、因数定理を利用して因数を見つけます。$x = ay$ を代入して式が0になるような $a$ を探します。

$x = 2y$ を代入すると、

$(2y)^3 - (2y)^2y - 2(2y)y^2 + 8y^3 = 8y^3 - 4y^3 - 4y^3 + 8y^3 = 8y^3 \neq 0$

$x = -2y$ を代入すると、

$(-2y)^3 - (-2y)^2y - 2(-2y)y^2 + 8y^3 = -8y^3 - 4y^3 + 4y^3 + 8y^3 = 0$

したがって、$x + 2y$ は与式の因数です。

次に、与式を $x + 2y$ で割ります。

\begin{array}{c|ccccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -3xy & +4y^2 \\

\cline{2-6}

x+2y & x^3 & -x^2y & -2xy^2 & +8y^3 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +2x^2y \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & -3x^2y & -2xy^2 \\

\multicolumn{2}{r}{} & -3x^2y & -6xy^2 \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4xy^2 & +8y^3 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 4xy^2 & +8y^3 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

したがって、

$x^3 - x^2y - 2xy^2 + 8y^3 = (x + 2y)(x^2 - 3xy + 4y^2)$

最後に、$x^2 - 3xy + 4y^2$ がさらに因数分解できるか調べます。

判別式 $D = (-3y)^2 - 4(1)(4y^2) = 9y^2 - 16y^2 = -7y^2 < 0$

したがって、$x^2 - 3xy + 4y^2$ は実数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x + 2y)(x^2 - 3xy + 4y^2)$