$2[x] = 4x - 5$ を満たす $x$ を求める問題です。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。

1. 問題の内容

$2[x] = 4x - 5$ を満たす $x$ を求める問題です。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。

2. 解き方の手順

$[x]$ は整数なので、$2[x]$ も整数です。したがって、$4x - 5$ も整数でなければなりません。

$4x - 5 = n$ (n は整数)とおくと、$4x = n + 5$ より、$x = \frac{n+5}{4}$ となります。

$[x] = \frac{n}{2}$ であるから、$[x] = [\frac{n+5}{4}]$ となります。

$x = \frac{n+5}{4}$ を元の式に代入すると、

$2[\frac{n+5}{4}] = n$

が成り立ちます。

ここで、ある整数 $k$ に対して $k \le \frac{n+5}{4} < k+1$ とすると、$[x]= k$ となるので、

$2k = n$

よって、$k \le \frac{2k+5}{4} < k+1$ が成り立つ必要があります。

この不等式を解きます。

まず、$k \le \frac{2k+5}{4}$ より、

$4k \le 2k+5$

$2k \le 5$

$k \le \frac{5}{2}$

次に、$\frac{2k+5}{4} < k+1$ より、

$2k+5 < 4k+4$

$1 < 2k$

$\frac{1}{2} < k$

よって、$\frac{1}{2} < k \le \frac{5}{2}$ となります。$k$ は整数なので、$k = 1$ または $k = 2$ となります。

(i) $k=1$ のとき、$n = 2k = 2$ となり、$x = \frac{2+5}{4} = \frac{7}{4} = 1.75$ です。

$[x] = [1.75] = 1$ であるので、$2[x] = 2(1) = 2$ であり、$4x - 5 = 4(\frac{7}{4}) - 5 = 7-5 = 2$ となり、条件を満たします。

(ii) $k=2$ のとき、$n = 2k = 4$ となり、$x = \frac{4+5}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$ です。

$[x] = [2.25] = 2$ であるので、$2[x] = 2(2) = 4$ であり、$4x - 5 = 4(\frac{9}{4}) - 5 = 9-5 = 4$ となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

$x = \frac{7}{4}, \frac{9}{4}$