次の式が$x$の値に関係なく成り立つとき、$a$と$b$の値を求めなさい。 $(x+a)(x+22) = x^2 + bx + 110$

1. 問題の内容

次の式が$x$の値に関係なく成り立つとき、$a$と$b$の値を求めなさい。

$(x+a)(x+22) = x^2 + bx + 110$

2. 解き方の手順

まず、左辺を展開します。

$(x+a)(x+22) = x^2 + 22x + ax + 22a = x^2 + (22+a)x + 22a$

この式が、$x^2 + bx + 110$と等しくなるので、各項の係数を比較します。

$x^2$の係数はどちらも1なので、次の2つの式が成り立ちます。

$x$の係数について：

$b = 22+a$

定数項について：

$22a = 110$

$22a = 110$より、$a = \frac{110}{22} = 5$

$a=5$を$b = 22+a$に代入すると、$b = 22+5 = 27$

3. 最終的な答え

$a=5$

$b=27$